1.     Oldjuk meg a következő diofantoszi egyenletet: 3x+7y=13
Megoldás: Euklídeszi algoritmussal (3;7)=1 1=7-2·3, azaz 13=13·7-26·3,
x₀=-26, y₀=13
x=-26+7t, y=13-3t
Megoldás: fokozatos csökkentéssel fejezzük ki az egyik ismeretlent a másik segítségével: x=(13-7y)/3 =
= 4-2y + (1-y)/3. Mivel x egész, ezért (1-y)/3 is egész, azaz létezik olyan s egész szám, hogy s=(1-y)/3 vagyis
y=1-3s. Ezt x előbbi előállításába visszahelyettesítve: x=2+7s adódik. (s egész)

2.     Oldjuk meg a 16x-23y+9z=15 diofantoszi egyenletet!
Megoldás: célszerű azt az ismeretlent kifejezni, amelyiknek együtthatója a legkisebb abszolút értékű:
z=(15-16x+23y)/9 = 1-2x+2y + (6+2x+5y)/9. Az utolsó tagot t-vel jelölve: (6+2x+5y)/9 =t,
innen: 2x+5y-9t = -6
Ebből ismét azt az ismeretlent fejezzük ki, amelyiknek együtthatója a legkisebb abszolút értékű:
x= (-6-5y+9t)/2 = -3-2y+4t+(-y+t)/2
az utolsó tagot jelöljük u-val: (-y+t)/2=u, ahonnan: y=t-2u
Helyettesítsük ezt vissza x-be, majd az így kapott értéket z-be:
x=-3+2t+5u, y=t-2u, z=7-t-14u a tekintett diofantoszi egyenlet megoldása
Itt, mint várható volt, két tetszés szerinti értéktől függenek a megoldások. Arról, hogy ezek az értékek bármely t és u esetére megoldásai az egyenletnek, behelyettesítéssel győződhetünk meg:
16(-3+2t+5u)-23(t-2u)+9(7-t-14u) = 15+(32-23-9)t+(80+46-126)u = 15

3.     Egy farmon, ahol több ló van, mint kacsa, a tehenek száma a lovak és kacsák összegének a harmada. A lovak és kacsák összes fejeinek és lábainak a száma 100. Hány tehén van a farmon?
Megoldás: l=lovak, k=kacsák, t=tehenek. t=(l+k)/3, t>k, 5l+3k=100
Az utolsó egyenlőségből következik, hogy k 5-tel osztható, az l>k egyenlőtlenségből pedig k≤10, azaz k=5 vagy k=10. Csak a k= 10, l=14 ad t-re pozitív egész megoldást.

4.     Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok körében: ab=a+b
Megoldás: (a-1)(b-1)=ab-a-b+1, azaz ab-a-b=0, azaz ab-a-b+1=1, azaz a=1, b=1, vagy a=0, b=0

5.     Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok körében: ab+a+b=6
Megoldás: (a+1)(b+1)=7, a=0, b=6 v. a=6, b=0 v. a=-2, b=-8, v. a=-8, b=-2

6.     Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok körében: 2a³+3ab-7=0
Megoldás: a(2a²+3b)=7; innen vagy a=1, 2a²+3b=7, így a =1, b=5, vagy a=7, 2a²+3b=1, innen b=-97. A 7=(-1)(-7)=(-7)(-1) szorzatok vizsgálata adja az a=-1, b=-9, ill. az a=-7, b=-99 megoldást.

7.     Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok körében: ab+3a-5b+3=0
Megoldás: (a-5)(b+3)=-18

8.     Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek 6-tal nagyobbak, mint számjegyeik szorzatának és összegének az összege?

                                               __  
Megoldás: a feltételek szerint: ab-6=ab+a+b, ahonnan a(9-b)=6, azaz a=6/(9-b),

                                                                             __ 

   tehát 9-b osztója 6, nak, azaz, 9-b= 1, 2, 3, 6. Innen ab =68, 37, 26, 13

9.     Egy tál süteményt szeretnénk feldarabolni a téglalap alakú tepsi oldalaival párhuzamos vágásokkal úgy, hogy a szeletelés után a tepsi szélével érintkező (kicsit égett) sütemények száma egyenlő legyen a tepsi szélével nem érintkező sütemények számával. Hogyan tehetjük ezt meg?
Megoldás: n oszlop, k sor, ekkor 2(n-2)(k-2)=nk, ahonnan: nk-4n-4k+8=0, azaz (n-4)(k-4)=8, innen n=5, k=12, vagy n=6, k=8.

10.                       Írjuk fel a 12438,964 10-es számrendszerbeli számot 2-es és 16-os számrendszerben!
Megoldás: egészrész: 12438:16=777+6; 777:16=48+9; 48:16=3+0;3:16=0+3
3096
Törtrész: 0,964·16=15,424; 0,424·16=6,784; 0,784·16=12,....
F6C
3096,F6C

11.                       Milyen alapú számrendszerekben igazak a következő hiányos számolások? Pótoljuk a hiányzó számjegyeket!
11_x+a1_x=110_x; a2_x+1b4_x=211_x; 4a21_x-13b_x=c160_x
Megoldás: 2-es: a=1; 5-ös, (a;b)=(1;4)=(2;3)=(3;2)=(4;1)=(5;0); 7-es, a=3, b=1, c=4

12.                       Milyen maradékot adhat 2-vel osztva az alábbi három szám?
a) xxyy₇; b)xyxy₇; c)xxxyy₇
Megoldás: xxyy₇=8y+392x páros, b) xyxy₇= 350x+50y páros, c) = 8y+2793x, így x-től függ a maradék, ha x páros, akkor 0, ha x páratlan, akkor 1.

13.                       Hány olyan ötös számrendszerbeli ötjegyű szám van, amelyben minden számjegy különböző? Hány páros szám van közöttük?
Megoldás: 0, 1, 2, 3, 4 ;az első számjegy nem lehet 0, így 4·4·3·2·1=96 van. Mivel páros sok (2 db) páratlan jegye van mindegyiknek így mindegyik páros.

14.                       Igazoljuk, hogy 10·a+b akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha a-2·b is osztható!
Megoldás: 10·a+b és a-2·b segítségével állítsunk elő olyan kifejezést, amely minden a és b esetében osztható 7-tel: (10·a+b)-3· (a-2·b)=7·(a-b)
Ha a (10·a+b), 3· (a-2·b), 7· (a-b) számok közül kettő osztható 7-tel, akkor a harmadik is osztható 7-tel. 7· (a-b) minden esetben osztható 7-tel, ezért, ha (10·a+b) és 3· (a-2·b) közül egyik osztható, akkor a másik is, és mivel 3, 7 prímek,ezért ha 7|3· (a-2·b), akkor 7| a-2·b és fordítva, tehát (10·a+b) és (a-2·b) közül vagy mindkettő osztható 7-tel, vagy egyik sem.

15.                       Az előző feladat alapján alkossunk szabályt többjegyű számok 7-tel való oszthatóságának eldöntésére!
Megoldás: Tízes számrendszerben tetszőleges szám felírható 10a+b alakban úgy, hogy az egyesét leválasztjuk. Pl: 35413= 3541·10+3 (itt a=3541, b=3). az a) pont értelmében vizsgáljuk az a-2b=3541-2·3=3535 számot, ez 353·10+5 alakban írható, helyette a 353-2·5=343 számot vizsgáljuk, ehelyett pedig a 34-6= 28 számot, ami osztható 7-tel, tehát az eredeti 35413 szám is.
Szabályunk röviden így fogalmazható meg: A szám utolsó jegyének kétszeresét vonjuk ki a az elötte álló számból, és ezt addig folytassuk, amíg olyan „kicsi” számot kapunk, amiről egyértelműen eldönthető, hogy osztható-e 7-tel.

16.                       Osztható-e a 874631 7-tel?
Megoldás: 874631 Þ 87461 Þ 866 Þ 74. nem osztható 7-tel.

17.                       Igazoljuk, hogy 1000a+b akkor és csak akkor osztható 7-tel, 11-gyel és 13-mal, ha a-b is osztható!
Megoldás: Most 1000a+b és a-b segítségével állítunk elő olyan számot, amely minden esetben osztható 7-tel (vagy 11-gyel, vagy 13-mal)
(1000a+b)+(a-b)=1001·a=7·11·13·a
ha a (1000a+b), a-b és 1001 számhármasból kettő osztható 7-tel (vagy 11-gyel, vagy 13-mal), akkor a harmadik is. 7|1001a, ezért, ha (1000a+b) és (a-b) közül egyik osztható, akkor a másik is. Tehát (1000a+b) és (a-b) közül vagy mindkettő osztható 7-tel (vagy 11-gyel, vagy 13-mal), vagy egyik sem.
Szabály: ha a szám három utolsó számjegyéből álló számot vonjuk ki az előtte álló számból, és ezt az eljárást addíg folytatjuk, amíg legfeljebb 3 jegyű számot kapunk, és ha ez osztható 7-tel, 11-gyel, 13-mal, akkor az eredeti is.

18.                       Osztható-e 903696488422 7-tel, 11-gyel, vagy 13-mal?
Megoldás: 903696488422 Þ 903696066 Þ 903630 Þ 273, osztható 7-tel, 13-mal, de nem osztható 11-gyel.

19.                       Bizonyítsuk be, hogy 6|n³-n (nÎN⁺)
Megoldás: n³-n = n(n²-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)
e szorzat 3 tényezője 3 egymást követő szám, azaz pontosan egy osztható 3-mal, van közöttük páros, így osztható 6-tal.

20.                       Bizonyítsuk be, hogy 6|n³+5n
Megoldás: n³+5n = n³-n-6n. n³-n osztható 6-tal (előző feladat), 6n is, ezért a különbségük is.