Oszthatóság

1.       Igazoljuk, hogy ha a, b, a+b számok közül kettő osztható n-nel, akkor a harmadik is osztható n-nel!

2.       Igazoljuk, hogy ha a, b, a-b számok közül kettő osztható n-nel, akkor a harmadik is osztható n-nel!

3.       Igazoljuk, hogy ha 19|(a-5·b), akkor 19|(10·a+7·b)

4.       Igazoljuk, hogy ha (a+c)|(a·b+c·d), akkor (a+c)|(a·d+b·c)

5.       Igazoljuk, hogy 1³+2³+3³+....+1990³ osztható 1991-gyel!

^6.                Bizonyítsuk be, hogy az alábbi összeg osztható 10-zel:
2001²⁰⁰¹+2002²⁰⁰²+2003²⁰⁰³+2004²⁰⁰⁴+2005²⁰⁰⁵+2006²⁰⁰⁶+1

7.       Igazoljuk, hogy a 59ⁿ· (18ⁿ-1) ·(n²+3n+2) kifejezés minden pozitív egész esetén osztható 2006-tal!

8.       Tudjuk, hogy 29|3·a+8·b és 29|2·a-5·b. Bizonyítsuk be, hogy 29|11·a-12·b

9.       Osztható-e 2011-gyel az alábbi kifejezés:
1²⁰¹¹+2²⁰¹¹+3²⁰¹¹+...2009²⁰¹¹+2010²⁰¹¹+2011²⁰¹¹?

Prímszámok

10.   Miért nem lehet két prímszám összege 1991?

11.   Három különböző prímszámról a következőket tudjuk: összegük osztható 20-szal, a legnagyobb és a középső összege is, különbsége is 8-ra végződik, szorzatuk pedig kisebb 1000-nél. Melyek ezek a prímek?

12.   Van-e három olyan prímszám, amelynek összege 1234, szorzata 87654321?

13.   Van-e hat egymást követő prímszám, amelynek az összege is prímszám?

14.   Határozzuk meg 12000 összes osztójának a számát!

15.   Határozzuk meg 12000 összes osztójának az összegét!

16.   Mely p prímekre teljesül, hogy p⁴+4 is prímszám?

17.   Melyek azok a p prímszámok, amelyekre 2p-1 és 2p+1 ikerprímek?

18.   Melyek azok a háromjegyű számok, amelyeknek öt pozitív osztója van?

19.   Egy apa és két különböző életkorú gyermekének életkora ugyannak a prímszámnak pozitív egész kitevős hatványa. Egy évvel ezelőtt mindhármuk életkora prímszám volt. Mennyi idősek most?

20.   Gyermekeim években kifejezett életkorának szorzata 1664. A legfiatalabb legalább fele annyi idős, mint a legidősebb. Én 50 éves vagyok. Hány gyermekem van?

21.   Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek fele négyzetszám, harmada köbszám?

22.   Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek kétszerese négyzetszám, háromszorosa köbszám, ötszöröse ötödik hatvány?

Legnagyobb közös osztó

23.   Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív n esetén (2ⁿ-1;2ⁿ+1)=1

24.   Hány olyan (x;y) pozitív egész számokat tartalmazó számpár van, amelyre
(x;y)=5 és x+y=200

25.   Mivel egyszerűsíthető a (3n-m)/(5n+2m) tört, ha (m;n)=1?

26.   Van-e olyan természetes szám, amellyel a (3n+2)/(4n+1) tört egyszerűsíthető?